30-metis futbolininkas karjera pradėjo Klaipėdos „Atlanto" ir „Granito" komandose, vėliau persikėlė į Latvijąm „Jelgava" klubą, 2017m. grįžo į Lietuvą ir su „Sūduvos" komanda tapo Lietuvos čempionu ir Supertaurės laimėtoju.
Nuo 2018-ųjų liepos puolėjas išbandė savo jėgas Kroatijos, Slovėnijos, Maltos, Kazachstano bei Rumunijos čempionatuose, o praėjusį sezoną dar kartą grįžo į Lietuvą ir užbaigė Marijampolės „Sūduvos" komandoje.
Iš Palangos kilęs K.Laukžemis yra sužaidęs 29 rungtynes Lietuvos nacionalinėje rinktinėje, per jas pelnė 2 įvarčius.
„Bangoje“ puolėjas vilkės 9 numeriu pažymėtus marškinėlius.